Aufgaben
Lösung zu Aufgabe 13.1
Der gesuchte Einheitsvektor $\vec e_{ki}^\prime$ wurde im Text in Gleichung (13.5) wie folgt definiert: \[ \tag{1} \label{def} \vec e_{ki}^\prime = \frac{\vec r + \Delta \vec r}{\lvert \vec r + \Delta \vec r\rvert} \] Wir benutzen die Näherung nach Gleichung (13.3) \[ \lvert \vec r + \Delta \vec r\rvert \approx l + \vec e_{ki}\cdot \Delta \vec r \] und schreiben damit den Kehrwert von $\lvert \vec r + \Delta \vec r\rvert$ wie folgt um: \[ \frac{1}{\lvert \vec r + \Delta \vec r\rvert} = \frac{1}{l + \vec e_{ki}\cdot \Delta \vec r} = \frac{1}{l} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{l} \vec e_{ki}\cdot \Delta \vec r} \] Mithilfe der Taylorentwicklung \[ \frac{1}{1+x} \approx 1-x \qquad \text{für} \qquad x \ll 1 \] ergibt sich daraus: \[ \frac{1}{\lvert \vec r + \Delta \vec r\rvert} \approx \frac{1}{l} \left( 1 - \frac{1}{l} \vec e_{ki}\cdot \Delta \vec r \right) \] Wir setzen dies in die Definition von $\vec e_{ki}^\prime$ nach Gleichung (1) ein und erhalten: \[ \vec e_{ki}^\prime = \frac{1}{l} \Big(\vec r + \Delta \vec r \Big) \Big( 1 - \frac{1}{l} \vec e_{ki}\cdot \Delta \vec r \Big) \] Anschließend multiplizieren wir die Klammer aus und vernachlässigen alle Terme, in denen $\Delta \vec r$ in höherer als linearer Ordnung auftritt: \[ \vec e_{ki}^\prime = \frac{\vec r}{l} + \frac{\Delta \vec r}{l} - \frac{\vec r}{l^2} \vec e_{ki}\cdot \Delta \vec r + \mathcal{O}(\Delta r^2) \] Mit \[ \vec e_{ki} = \frac{\vec r}{l} \] ergibt sich daraus direkt der gesuchte Zusammenhang: \[ \vec e_{ki}^\prime = \vec e_{ki} + \frac{\Delta \vec r}{l} - \frac{1}{l}\vec e_{ki} (\vec e_{ki}\cdot \Delta r) \]