Oliver Natt: Physik mit Python.

Lösung zu Aufgabe 13.7

Das unten angegebene Programm simuliert die Schwingung des in der Aufgabe genannten Stabwerks. Man erkennt gut, dass es sich um eine Mischung verschiedener Eigenschwingungen handelt.

Zur fertigen Animation.

Wenn man die Steifigkeit der äußeren Stangen sehr groß wählt, steigt die Rechenzeit stark an. Dies liegt daran, dass dann zwei Schwingungen mit stark unterschiedlicher Frequenz angeregt werden. Der Differentialgleichungslöser muss dann natürlich eine sehr kleine Zeitschrittweite wählen, um die schnelle Schwingung aufzulösen.

Man kann erkennen, dass die Umsetzung der Simulation mithilfe der in Aufgabe 13.6 definierten Klasse StabwerkElastischDynamisch mit relativ wenig Code umgesetzt werden kann.

OOsim/Loesungen/regalschwingung.py

"""Schwingung eines elastischen Stabwerks."""

import numpy as np
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
import stabwerke
import stabwerksdynamik

# Simulationszeit und Zeitschrittweite [s].
t_max = 5.0
dt = 0.01

# Reibungskoeffizient [kg/s].
reibung = 3.5

# Definiere die Geometrie des Stabwerks und die äußeren Kräfte.
punkte = np.array([[0, 0], [1.2, 0], [1.2, 2.1], [0, 2.1],
                   [0.6, 1.05]])
indizes_stuetz = [0, 1]
staebe = np.array([[1, 2], [2, 3], [3, 0],
                   [0, 4], [1, 4], [3, 4], [2, 4]])
steifigkeiten = np.array([5.6e3, 5.6e3, 5.6e3,
                          7.1e3, 7.1e3, 7.1e3, 7.1e3])
F_ext = np.array([[0, 0], [0, 0], [0, 0], [200.0, 0], [0, 0]])
massen = np.array([0.0, 0.0, 5.0, 5.0, 1.0])

# Erzeuge das dynamische Stabwerksmodell.
stabw = stabwerksdynamik.StabwerkElastischDynamisch(
    punkte, indizes_stuetz, staebe, steifigkeiten=steifigkeiten,
    punktmassen=massen, kraefte_ext=F_ext, reibung=reibung)
stabw.suche_gleichgewichtsposition()
stabw.kraefte_ext[:, :] = 0

# Löse die zugehörigen Differentialgleichungen.
t, punkte, v = stabw.solve(t_max, t_eval=np.arange(0, t_max, dt))

# Erzeuge eine Figure und eine Axes.
fig = plt.figure(figsize=(9, 5))
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)
ax.set_xlabel('$x$ [m]')
ax.set_ylabel('$y$ [m]')
ax.set_xlim(-0.6, 1.8)
ax.set_ylim(-0.5, 2.5)
ax.set_aspect('equal')
ax.grid()

# Erzeuge einen Stabwerksplot.
plot_stabwerk = stabwerke.PlotStabwerk(ax, stabw,
                                       cmap='jet', linewidth_stab=3,
                                       arrows=False, annot=False)
for artist in plot_stabwerk.artists:
    artist.set_visible(False)


def update(n):
    """Aktualisiere die Grafik zum n-ten Zeitschritt."""
    stabw.punkte = punkte[n]
    plot_stabwerk.update_stabwerk()
    for artist in plot_stabwerk.artists:
        artist.set_visible(True)
    return plot_stabwerk.artists


# Erzeuge das Animationsobjekt und starte die Animation.
ani = mpl.animation.FuncAnimation(fig, update, frames=t.size,
                                  interval=30, blit=True)
plt.show()

Aufgaben

Lösung zu Aufgabe 13.7