Oliver Natt: Physik mit Python.

Lösung zu Aufgabe 11.14

Die gegebene Dispersionsrelation lässt sich ohne größere Probleme in die Simulation einbauen. Die Parameter und die Wellenform zum Zeitpunkt $t=0$ wurden so gewählt, dass sie in etwa der Situation der Masse-Feder-Kette aus Aufgabe 11.1 entsprechen. Wenn man die Entwicklung der Wellenform aus Aufgabe 11.1 und der hier vorliegenden Simulation vergleicht, so erkennt man eine unverkennbare Ähnlichkeit.

Zur fertigen Animation.

Zum Vergleich: Animation nach Aufgabe 11.1.

Wellen/Loesungen/dispersion_phonon.py

"""Dispersion einer gaußförmigen Anfangsauslenkung.

Hier wurde die gegebene Dispersionsrelation für Phononen benutzt.
Die anderen Parameter wurden so gewählt, dass sie vergleichbar
zur Situation im Programm `kette_longitudinal1.py` sind.
"""

import numpy as np
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation

# Simulationsdauer [s] und berechneter Ortsbereich [m].
t_max = 3.0
x_max = 30.0
# Zeitschrittweite [s] und Ortsauflösung [m].
dt = 0.01
dx = 0.001
# Federkonstante [N/m].
D = 100
# Masse der einzelnen Teilchen [kg].
m = 0.05
# Abstand benachbarter Massen in der Ruhelage [m].
abstand = 0.15
# Breite des gaußförmigen Wellenpakets im Zeitbereich [s].
delta_t = 0.05

# Bestimme die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen im Grenzfall
# kleiner Wellenzahlen mithilfe der angegebenen Dispersionsrelation
# und der Näherung sin(x) ≈ x.
c0 = np.sqrt(D / m) * abstand

# Bestimme die Breite des gaußförmigen Wellenpakets im Ortsbereich
# [m].
delta_x = c0 * delta_t

# Mittelpunkt des Wellenpakets zum Zeitpunkt t=0 [m].
x0 = 3 * delta_x

# Erzeuge je ein Array von x-Positionen und Zeitpunkten.
x = np.arange(0, x_max, dx)
t = np.arange(0, t_max, dt)

# Lege die Wellenfunktion zum Zeitpunkt t=0 fest.
u0 = np.exp(-((x - x0) / delta_x) ** 2)

# Führe die Fourier-Transformation durch.
u_ft = np.fft.fft(u0)

# Berechne die zugehörigen Wellenzahlen.
k = 2 * np.pi * np.fft.fftfreq(x.size, d=dx)

# Implementiere die Dispersionsrelation. Wir müssen auch hier
# wieder dafür sorgen, dass negative Wellenzahlen eine negative
# Kreisfrequenz bekommen und lassen daher die Betragsstriche bei
# der Dispersionsrelation weg.
omega = 2 * np.sqrt(D / m) * np.sin(k * abstand / 2)

# Erzeuge eine Figure und eine Axes. Wir stellen dabei nur
# die erste Hälte der berechneten x-Werte dar.
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)
ax.set_xlabel('$x$ [m]')
ax.set_ylabel('Auslenkung [a.u.]')
ax.set_ylim(-0.5, 1.2)
ax.set_xlim(0, x_max / 2)
ax.grid()

# Erzeuge einen Linienplot für die Welle.
ax.plot(x, np.real(u0), color='lightblue')
plot_welle, = ax.plot([], [], color='blue')

# Erzeuge ein Textfeld für die Ausgabe des Zeitpunktes.
text_zeit = ax.text(0.1, 0.9, '', transform=ax.transAxes)


def update(n):
    """Aktualisiere die Grafik zum n-ten Zeitschritt."""
    u = np.fft.ifft(u_ft * np.exp(-1j * omega * t[n]))
    plot_welle.set_data(x, np.real(u))

    # Aktualisiere das Textfeld.
    text_zeit.set_text(f'$t$ = {t[n]:3.1f} s')

    return plot_welle, text_zeit


# Erstelle die Animation und zeige die Grafik an.
ani = mpl.animation.FuncAnimation(fig, update, frames=t.size,
                                  interval=30, blit=True)
plt.show()

Aufgaben

Lösung zu Aufgabe 11.14