Oliver Natt: Physik mit Python.

Lösung zu Aufgabe 10.11

Im vorliegenden Programm wurde die Steifigkeit der Querverstrebungen um den Faktor 1000 erhöht. Man erkennt, dass die beiden vorher fast entarteten Eigenmoden nun deutlich unterschiedliche Frequenzen $f_2$ und $f_3$ haben. Man erkennt weiterhin, dass der wesentliche Unterschied der beiden Moden in der Bewegung des mittleren Massenpunktes besteht. Bei der Mode $f_2$ bewegt sich dieser vertikal und bei der Mode $f_3$ horizontal.
Zur fertigen Animation.
Schwingungen/Loesungen/eigenmoden_stabwerk2.py
"""Eigenmoden und Eigenfrequenzen eines elastischen Stabwerks.

Das Programm ist identisch zum Programm `eigenmoden_stabwerk.py`
mit der einzigen Ausnahme, dass die Steifigkeit der
Querverstrebungen um einen Faktor 1000 erhöht wurden.
"""

import numpy as np
import matplotlib as mpl
import matplotlib.animation
import matplotlib.pyplot as plt

# Lege die Positionen der Punkte fest [m].
punkte = np.array([[0, 0], [1.2, 0], [1.2, 2.1], [0, 2.1],
                   [0.6, 1.05]])

# Erzeuge eine Liste mit den Indizes der Stützpunkte.
indizes_stuetz = [0, 1]

# Jeder Stab verbindet genau zwei Punkte. Wir legen dazu die
# Indizes der zugehörigen Punkte in einem Array ab.
staebe = np.array([[1, 2], [2, 3], [3, 0],
                   [0, 4], [1, 4], [3, 4], [2, 4]])

# Produkt aus E-Modul und Querschnittsfläche der Stäbe [N].
steifigkeiten = np.array([5.6e6, 5.6e6, 5.6e6,
                          7.1e6, 7.1e6, 7.1e6, 7.1e6])

# Massen der Knotenpunkte [kg].
knotenmassen = np.array([5.0, 5.0, 1.0])

# Amplitude, mit der die Eigenmoden dargestellt werden [m].
amplitude = 0.3

# Definiere die Dimension sowie die Anzahl der Punkte, Stäbe, etc.
n_punkte, n_dim = punkte.shape
n_staebe = len(staebe)
n_stuetz = len(indizes_stuetz)
n_knoten = n_punkte - n_stuetz

# Erzeuge eine Liste mit den Indizes der Knoten.
indizes_knoten = list(set(range(n_punkte)) - set(indizes_stuetz))


def ev(i_pkt, i_stb, koord=punkte):
    """Bestimme den Einheitsvektor in einem Punkt für einen Stab.

    Args:
        i_pkt (int):
            Index des betrachteten Punktes.
        i_stb (int):
            Index des betrachteten Stabes.
        koord (np.ndarray):
            Koordinaten der Punkte (n_punkte × n_dim).

    Returns:
        np.ndarray: Berechneter Einheitsvektor oder der Nullvektor,
                    wenn der Stab den Punkt nicht enthält.
    """
    stb = staebe[i_stb]
    if i_pkt not in stb:
        return np.zeros(n_dim)
    if i_pkt == stb[0]:
        vektor = koord[stb[1]] - koord[i_pkt]
    else:
        vektor = koord[stb[0]] - koord[i_pkt]
    return vektor / np.linalg.norm(vektor)


def laenge(i_stb, koord=punkte):
    """Berechne die Länge eines Stabes.

    Args:
        i_stb (int):
            Index des betrachteten Stabes.
        koord (np.ndarray):
            Koordinaten der Punkte (n_punkte × n_dim).

    Returns:
        float: Länge des Stabes.
    """
    i1, i2 = staebe[i_stb]
    return np.linalg.norm(koord[i2] - koord[i1])


# Stelle das Gleichungssystem für die Kräfte auf.
A = np.zeros((n_knoten, n_dim, n_knoten, n_dim))
for n, k in enumerate(indizes_knoten):
    for m, j in enumerate(indizes_knoten):
        for i in range(n_staebe):
            A[n, :, m, :] -= (steifigkeiten[i] / laenge(i)
                              * np.outer(ev(k, i), ev(j, i)))
A = A.reshape((n_knoten * n_dim, n_knoten * n_dim))

# Erzeuge ein Array, das die Masse für jede Koordinate
# der Knotenpunkte enthält.
massen = np.repeat(knotenmassen, n_dim)

# Berechne die Matrix Lambda.
Lambda = -A / massen.reshape(-1, 1)

# Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren.
eigenwerte, eigenvektoren = np.linalg.eig(Lambda)

# Eingentlich sollten alle Eigenwerte reell sein.
if np.any(np.iscomplex(eigenwerte)):
    print('Achtung: Einige Eigenwerte sind komplex.')
    print('Der Imaginärteil wird ignoriert')
    eigenwerte = np.real(eigenwerte)
    eigenvektoren = np.real(eigenvektoren)

# Eigentlich sollte es keine negativen Eigenwerte geben.
eigenwerte[eigenwerte < 0] = 0

# Sortiere die Eigenmoden nach aufsteigender Frequenz.
indizes_sortiere_eigenwerte = np.argsort(eigenwerte)
eigenwerte = eigenwerte[indizes_sortiere_eigenwerte]
eigenvektoren = eigenvektoren[:, indizes_sortiere_eigenwerte]

# Berechne die Eigenfrequenzen.
eigenfrequenzen = np.sqrt(eigenwerte) / (2 * np.pi)

# Erzeuge eine Figure.
fig = plt.figure()
fig.set_tight_layout(True)

# Anzahl der darzustellenden Eigenmoden.
n_moden = eigenfrequenzen.size

# Erzeuge ein geeignetes n_zeilen × n_spalten - Raster.
n_zeilen = int(np.sqrt(n_moden))
n_spalten = n_moden // n_zeilen
while n_zeilen * n_spalten < n_moden:
    n_spalten += 1

# Ezeuge eine Liste der animierten Grafikobjekte jeder Eigenmode.
plots = []

# Erstelle die Plots für jede Eigenmode in einer eigenen Axes.
for mode in range(n_moden):
    ax = fig.add_subplot(n_zeilen, n_spalten, mode + 1)
    ax.set_title(f'$f_{{{mode+1}}}$={eigenfrequenzen[mode]:.1f} Hz')
    ax.set_xlim(-0.3, 1.5)
    ax.set_ylim(-0.5, 2.5)
    ax.set_aspect('equal')
    ax.axis('off')

    # Erzeuge ein Dictionary für die animierten Plot-Objekte
    # dieser Mode und hänge dieses an die Liste plots an.
    plot_objekte = {}
    plots.append(plot_objekte)

    # Lege einen Plot für die Knotenpunkte in Blau an.
    plot_objekte['knoten'], = ax.plot([], [], 'bo', zorder=5)

    # Lege Plots für die Stäbe an.
    plot_objekte['staebe'] = []
    for stab in staebe:
        plot_stab, = ax.plot([], [], color='black', zorder=4)
        plot_objekte['staebe'].append(plot_stab)

    # Plotte die Stützpunkte in Rot.
    ax.plot(punkte[indizes_stuetz, 0], punkte[indizes_stuetz, 1],
            'ro', zorder=5)

    # Plotte die Ausgangslage der Knotenpunkte hellblau.
    ax.plot(punkte[indizes_knoten, 0], punkte[indizes_knoten, 1],
            'o', color='lightblue', zorder=2)

    # Plotte die Ausgangslage der Stäbe Hellgrau.
    for stab in staebe:
        ax.plot(punkte[stab, 0], punkte[stab, 1],
                color='lightgray', zorder=1)

# Zeitachse, die 60 Punkte im Bereich von 0 ... 2 pi enthält.
t = np.radians(np.arange(0, 360, 6))


def update(n):
    """Aktualisiere die Grafik zum n-ten Zeitschritt."""
    for mode in range(n_moden):

        # Stelle den zu dieser Mode gehörenden Eigenvektor
        # als ein n_knoten × dim - Array dar.
        ev = eigenvektoren[:, mode].reshape(n_knoten, n_dim)

        # Berechne die aktuellen Positionen p aller Punkte.
        p = punkte.copy()
        p[indizes_knoten] += amplitude * np.sin(t[n]) * ev

        # Aktualisiere die Positionen der Knotenpunkte.
        plots[mode]['knoten'].set_data(p[indizes_knoten].T)

        # Aktualisiere die Koordinaten der Stäbe.
        for linie, stab in zip(plots[mode]['staebe'], staebe):
            linie.set_data(p[stab, 0], p[stab, 1])

    # Gib eine Liste aller geänderten Objekte zurück.
    geaendert = []
    for p in plots:
        geaendert.append(p['knoten'])
        geaendert += p['staebe']
    return geaendert


# Erzeuge das Animationsobjekt und starte die Animation.
ani = mpl.animation.FuncAnimation(fig, update, frames=t.size,
                                  interval=30, blit=True)
plt.show()
Aufgaben

Lösung zu Aufgabe 10.11
