Aufgaben
Lösung zu Aufgabe 6.3
Das zugehörige Programm ist unten angegeben. Für die gegebenen Parameter des Tischtennisballs ergibt sich ein recht interessantes Bild:
Bei kleinen Abwurfgeschwindigkeiten ist es zunächst günstig nahezu horizontal abzuwerfen. Ohne Luftreibung (probieren Sie das einmal aus!) ergibt sich, dass man mit wachsender Abwurfgeschwindigkeit auch größere Abwurfwinkel wählen sollte. Für sehr große Abwurfgeschwindigkeiten geht der optimale Wurfwinkel dann gegen 45°. An der Abbildung oben erkennt man, dass die Situation mit Luftreibung ganz anders aussieht. Auch hier steigt der optimale Wurfwinkel zunächst mit der Abwurfgeschwindigkeit an, fällt für große Geschwindigkeiten aber wieder ab.
Dynamik/Loesungen/schiefer_wurf_reibung_optimaler_winkel.py
"""Simulation eines fliegenden Balls mit Luftreibung.
In diesem Programm wird für verschiedene Abwurfgeschwindigkeiten
jeweils der optimale Abwurfwinkel bestimmt. Die sonstigen
Parameter entsprechen der Simulation des Tischtennisballs. """
import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.integrate
import scipy.optimize
# Masse des Körpers [kg].
m = 2.7e-3
# Produkt aus c_w-Wert und Stirnfläche [m²].
cwA = 0.45 * math.pi * 20e-3 ** 2
# Bereich von Abwurfgeschwindigkeit [m/s].
v0_min = 0.1
v0_max = 50
# Erdbeschleunigung [m/s²].
g = 9.81
# Luftdichte [kg/m³].
rho = 1.225
# Anfangshöhe [m].
h0 = 1.1
def bahnkurve(alpha, v0):
"""Liefert die Bahnkurve r(t) für einen schiefen Wurf mit
Luftreibung. Zurückgegeben wird ein Array mit 1000
Zeitpunkten und ein 2 x N - Array der Ortsvektoren. """
# Anfangsort [m].
r0 = np.array([0, h0])
# Berechne den Vektor der Anfangsgeschwindigkeit [m/s].
v0 = np.array([v0 * math.cos(math.radians(alpha)),
v0 * math.sin(math.radians(alpha))])
def F(r, v):
"""Kraft als Funktion von Ort r und Geschwindigkeit v. """
Fr = -0.5 * rho * cwA * np.linalg.norm(v) * v
Fg = m * g * np.array([0, -1])
return Fg + Fr
def dgl(t, u):
r, v = np.split(u, 2)
return np.concatenate([v, F(r, v) / m])
def aufprall(t, u):
"""Ereignisfunktion: Liefert einen Vorzeichenwechsel beim
Auftreffen auf dem Erdboden (y=0). """
r, v = np.split(u, 2)
return r[1]
# Beende die Simulation beim Auftreten des Ereignisses.
aufprall.terminal = True
# Lege den Zustandsvektor zum Zeitpunkt t=0 fest.
u0 = np.concatenate((r0, v0))
# Löse die Bewegungsgleichung bis zum Auftreffen auf der Erde
result = scipy.integrate.solve_ivp(dgl, [0, np.inf], u0,
events=aufprall,
dense_output=True)
# Berechne die Interpolation auf einem feinen Raster.
t = np.linspace(0, np.max(result.t), 1000)
r, v = np.split(result.sol(t), 2)
return t, r
def func(alpha, v0):
"""Berechne die Wurfweite und gib den Wert mit einem
negativen Vorzeichen zurück. """
t, r = bahnkurve(alpha, v0)
# Die Wurfweite ist die x-Koordinate des letzten berechneten
# Datenpunkts.
return -r[0, -1]
# Erzeuge ein Array mit Anfangsgeschwindigkeiten.
v0 = np.linspace(v0_min, v0_max, 100)
# Erzeuge ein leeres Array, das für jede Anfangsgeschwindigkeit
# den optimalen Abwurfwinkel aufnimmt.
alpha = np.empty(v0.size)
# Führe für jeden Wert der Anfangsgeschwindigkeit die
# Optimierung durch. Die Geschwindigkeit muss als zusätzliches
# Argument an die Funktion func übergeben werden. Dies wird mit
# der Option arg=v bewirkt. Da der Winkel bei der Funktion func
# im Gradmaß angegeben wird, ist es sinnvoll, den Suchbereich
# mit bounds=(0, 90) auf den Bereich von 0 bis 90 Grad
# einzuschränken.
for i, v in enumerate(v0):
result = scipy.optimize.minimize_scalar(func,
bounds=(0, 90),
args=v,
method='bounded')
alpha[i] = result.x
# Erzeuge eine Figure und ein Axes-Objekt.
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)
ax.set_xlabel('Abwurfgeschwindigkeit [m/s]')
ax.set_ylabel('Optimaler Abwurfwinkel [°]')
ax.grid()
# Plott das Eregbnis.
ax.plot(v0, alpha)
# Zeige die Grafik an.
plt.show()