Oliver Natt: Physik mit Python.

Lösung zu Aufgabe 10.4

Um ein loses Ende für die Longitudinalwelle zu implementieren, lassen wir die Zeile a[N - 1] = 0 komplett weg. Dadurch kann sich die letzte Masse in $x$-Richtung frei bewegen. Dies führt aber dazu, dass man die Kette nicht mehr vorspannen kann, da eine vorgespannte Kette sich einfach zusammenziehen würde. Um eine nicht vorgespannte Kette zu simulieren, müssen wir die Länge der ungespannten Federn mit L0 = 0.15 genauso groß wählen, wie die Länge L der gespannten Federn. Eine Transversalwelle kann sich dann aber nicht mehr ausbreiten, das es für die Transversalauslenkung keine Rückstellkraft mehr gibt.

In der Animation sieht man nun, dass am losen Ende auch die Longitudinalwelle ohne Vorzeichenwechsel reflektiert wird.

Zur fertigen Animation.

Wellen/Loesungen/kette_lose_long.py

"""Wellenausbreitung auf einer Masse-Feder-Kette.

Das Ende der Kette kann sich in beide Richtungen frei bewegen.
"""

import numpy as np
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation
import scipy.integrate

# Simulationsdauer [s].
T = 10.0

# Zeitschrittweite [s].
dt = 0.01

# Dimension des Raumes.
dim = 2

# Anzahl der Massen.
N = 70

# Federkonstante [N/m].
D = 100

# Masse [kg].
m = 0.05

# Länge der Federn [m].
L = 0.15

# Wir müssen die Länge der ungespannten Federn nun genauso
# groß wählen, wie die Länge der gespannten Federn, damit die
# Kette nicht mehr gespannt ist.
L0 = 0.15

# Amplitude der longitudinalen Anregung [m].
A_long = 0.5

# Ruhelage der N Massen im Abstand L auf der x-Achse.
r0 = np.zeros((N, dim))
r0[:, 0] = np.linspace(L, N * L, N)


def anreg(t):
    """Ortsvektor der anregenden Masse zum Zeitpunkt t. """
    t_max = 0.5
    delta_t = 0.2
    pos = np.empty(dim)
    pos[0] = A_long * np.exp(-((t - t_max) / delta_t) ** 2)
    pos[1] = 0                       # keine Transversalanregung.
    return pos


def federkraft(r1, r2):
    """Kraft auf die Masse am Ort r1. """
    L = np.linalg.norm(r2 - r1)
    F = D * (L - L0) * (r2 - r1) / L
    return F


def dgl(t, u):
    r, v = np.split(u, 2)
    r = r.reshape(N, dim)
    a = np.zeros((N, dim))

    # Addiere die Beschleunigung durch die jeweils linke Feder.
    for i in range(1, N):
        a[i] += federkraft(r[i], r[i-1]) / m

    # Addiere die Beschleunigung durch die jeweils rechte Feder.
    for i in range(N-1):
        a[i] += federkraft(r[i], r[i+1]) / m

    # Addiere die Beschleunigung durch die anregende Masse.
    a[0] += federkraft(r[0], anreg(t)) / m

    # Die lezte Masse soll sich in beide Richtungen frei
    # bewegen können. Wir nehmen hier also keine zusätzlichen
    # Einschränkungen vor.

    return np.concatenate([v, a.reshape(-1)])


# Lege den Zustandsvektor zum Zeitpunkt t=0 fest. Alle N-1
# Teilchen ruhen in der Ruhelage.
v0 = np.zeros(N * dim)
u0 = np.concatenate((r0.reshape(-1), v0))

# Löse die Bewegungsgleichung bis zum Zeitpunkt T.
result = scipy.integrate.solve_ivp(dgl, [0, T], u0,
                                   t_eval=np.arange(0, T, dt))
t = result.t
r, v = np.split(result.y, 2)

# Wandle r und v in ein 3-dimensionals Array um:
#    1. Index - Teilchennummer
#    2. Index - Koordinatenrichtung
#    3. Index - Zeitpunkt
r = r.reshape(N, dim, -1)
v = v.reshape(N, dim, -1)

# Erzeuge eine Figure.
fig = plt.figure(figsize=(12, 4))

# Erzeuge eine Axes für die animierte Darstellung der
# Masse-Feder-Kette.
ax1 = fig.add_subplot(2, 1, 1)
ax1.set_xlim(-L, (N + 1) * L)
ax1.set_ylim(-1, 1)
ax1.set_ylabel('y [m]')
ax1.tick_params(labelbottom=False)
ax1.grid()

# Erzeuge je einen Punktplot (blau) für die beiden Wellen.
teilchen, = ax1.plot(r0[:, 0], r0[:, 1], 'ob')
teilchen0, = ax1.plot([-L], 0, 'or')

# Erzeuge ein Textfeld für die Angabe des Zeitpunkts.
text = ax1.text(0.97, 0.97, '', transform=ax1.transAxes,
                horizontalalignment='right',
                verticalalignment='top')

# Erzeuge eine zweite Axes für die animierte Darstellung der
# transversalen und longitudinalen Auslenkung.
ax2 = fig.add_subplot(2, 1, 2)
ax2.set_xlim(-L, (N + 1) * L)
ax2.set_ylim(-2.2 * A_long, 2.2 * A_long)
ax2.set_ylabel('u [m]')
ax2.set_xlabel('x [m]')
ax2.grid()

# Erzeuge je einen Linienplot für die Momentanauslenkung.
# Dabei wollen wir die anregende Masse mit einschließen.
xw = np.linspace(0, N * L, N + 1)
welle_trans, = ax2.plot(xw, 0 * xw, '-', label='trans')
welle_long, = ax2.plot(xw, 0*xw, '-', label='long')

# Füge eine Legende hinzu.
ax2.legend(loc='upper left')


def update(n):
    # Aktualisiere die Position der simulierten Massen.
    teilchen.set_data(r[:, :, n].T)

    # Aktualisiere die Position der anregenden Masse.
    teilchen0.set_data(anreg(t[n]).reshape(-1, 1))

    # Erzeuge ein Array mit den Auslenkungen aller Massen
    # aus der Ruhelage (inklusive der anregenden Masse).
    w = np.concatenate([anreg(t[n]).reshape(1, dim),
                        r[:, :, n] - r0])

    # Aktualisiere den Plot für die Transversal- und
    # Longitudinalwelle.
    welle_long.set_ydata(w[:, 0])
    welle_trans.set_ydata(w[:, 1])

    # Aktualisiere die Zeitangabe.
    text.set_text(f't = {t[n]:.2f}s')

    return teilchen, teilchen0, welle_trans, welle_long, text


# Erstelle die Animation und zeige die Grafik an.
ani = mpl.animation.FuncAnimation(fig, update, frames=t.size,
                                  interval=30, blit=True)
plt.show()

Aufgaben

Lösung zu Aufgabe 10.4