Aufgaben
Lösung zu Aufgabe 9.12
Um das $\textrm{CO}_2$-Molekül zu simulieren, muss man zunächst die Geometrie festlegen. Da wir keine Stützpunkte haben, erzeugen wir für die Stützpunkte eine leere Liste. Auf die absoluten Abstände der Atome voneinander kommt es nicht an, sodass wir hier willkürlich eine Einheit wählen. Anstelle der Steifigkeiten der Stäbe müssen wir nun Federkonstanten angeben. Dementsprechend muss man die Zeile für die Berechnung der Matrix $\hat A$ anpassen, da man hier nun nicht mehr durch die Länge des Stabes dividieren darf. Für die Ausgabe der Frequenz eignet sich die Einheit THz (1 THz = $10^{12}\,\textrm{Hz}$).
Man erkennt in der Animation 6 Eigenmoden von denen die ersten 4 eine Eigenfrequenz von Null haben. Diese haben die folgenden Bedeutungen:
- Die Mode $f_1$ ist eine Starrkörperverschiebung entlang der x-Achse.
- Die Summe der Moden $f_2$, $f_3$ und $f_4$ ist eine Starrkörperverschiebung entlang der y-Achse.
- Die Differenz der Moden $f_2$ und $f_4$ ist eine Starrkörperdrehung des Moleküls in der Bildebene.
- Die Mode $f_3$ beschreibt eine Biegemode des Moleküls. Diese hat hier die Frequenz Null, da die Federn in unserem Modell keinerlei Biegesteifigkeit haben.
Es ist interessant zu bemerken, dass der Verhältnis der beiden Schwingungsfrequenzen $f_6$ zu $f_5$ in dieser Berechnung ungefähr $1{,}92$ ist, während experimentell Messungen einen Wert von $1{,}76$ ergeben. Die Ursache ist in einer sogenannten Fermi-Resonanz mit der Biegemode des Moleküls zu sehen, auf die im Rahmen dieses Buches aber nicht weiter eingegangen werden kann.
Schwingungen/Loesungen/eigenmoden_co2.py
"""Eigenmoden eines CO2-Moleküls in linearer Näherung. """
import numpy as np
import matplotlib as mpl
import matplotlib.animation
import matplotlib.pyplot as plt
# Anzahl der Raumdimensionen für das Problem (2 oder 3).
dim = 2
# Lege die Positionen der Punkte fest [m].
punkte = np.array([[-1.0, 0], [0.0, 0], [1.0, 0]])
# Erzeuge eine Liste mit den Indizes der Stützpunkte.
idx_stuetz = []
# Jeder Stab verbindet genau zwei Punkte. Wir legen dazu die
# Indizes der zugehörigen Punkte in einem Array ab.
staebe = np.array([[0, 1], [1, 2]])
# Federkonstante der Verbindungen [N/m].
D = np.array([1.5e3, 1.5e3])
# Massen der einzelnen Punkte [kg].
massen = np.array([16.0, 12.0, 16.0]) * 1.6605e-27
# Amplitude, mit der die Eigenmoden dargestellt werden [m].
amplitude = 0.3
# Definiere die Anzahl der Punkte, Stäbe und Stützpunkte.
n_punkte = punkte.shape[0]
n_staebe = staebe.shape[0]
n_stuetzpunkte = len(idx_stuetz)
n_knoten = n_punkte - n_stuetzpunkte
n_gleichungen = n_knoten * dim
# Erzeuge eine Liste mit den Indizes der Knoten.
idx_knoten = list(set(range(n_punkte)) - set(idx_stuetz))
def einheitsvektor(i_punkt, i_stab):
"""Gibt den Einheitsvektor zurück, der vom Punkt i_punkt
entlang des Stabes Index i_stab zeigt. """
i1, i2 = staebe[i_stab]
if i_punkt == i1:
vec = punkte[i2] - punkte[i1]
else:
vec = punkte[i1] - punkte[i2]
return vec / np.linalg.norm(vec)
def laenge(i_stab):
"""Gibt die Länge des Stabes i_stab zurück. """
i1, i2 = staebe[i_stab]
return np.linalg.norm(punkte[i2] - punkte[i1])
# Stelle das Gleichungssystem für die Kräfte auf.
A = np.zeros((n_gleichungen, n_gleichungen))
for i, stab in enumerate(staebe):
for k in np.intersect1d(stab, idx_knoten):
n = idx_knoten.index(k)
for j in np.intersect1d(stab, idx_knoten):
m = idx_knoten.index(j)
ee = np.outer(einheitsvektor(k, i),
einheitsvektor(j, i))
A[n * dim:(n + 1) * dim,
m * dim:(m + 1) * dim] += - D[i] * ee
# Erzeuge ein Array, das die Masse für jede Koordinate
# der Knotenpunkte enthält.
m = np.repeat(massen[idx_knoten], dim)
# Berechne die Matrix Lambda.
Lambda = -A / m.reshape(-1, 1)
# Bestimme die Eigenwerte w und die Eigenvektoren v.
eigenwerte, eigenvektoren = np.linalg.eig(Lambda)
# Eingentlich sollten alle Eigenwerte reell sein.
if np.any(np.iscomplex(eigenwerte)):
print('Achtung: Einige Eigenwerte sind komplex.')
print('Der Imaginärteil wird ignoriert')
eigenwerte = np.real(eigenwerte)
eigenvektoren = np.real(eigenvektoren)
# Eigentlich sollte es keine negativen Eigenwerte geben.
eigenwerte[eigenwerte < 0] = 0
# Sortiere die Eigenmoden nach aufsteigender Frequenz.
idx = np.argsort(eigenwerte)
eigenwerte = eigenwerte[idx]
eigenvektoren = eigenvektoren[:, idx]
# Berechne die Eigenfrequenzen.
freq = np.sqrt(eigenwerte) / (2 * np.pi)
# Erzeuge eine Figure.
fig = plt.figure()
fig.set_tight_layout(True)
# Anzahl der darzustellenden Eigenmoden.
n_moden = eigenwerte.size
# Erzeuge ein geeignetes n_zeilen x n_spalten - Raster.
n_zeilen = int(np.sqrt(n_moden))
n_spalten = n_moden // n_zeilen
while n_zeilen * n_spalten < n_moden:
n_spalten += 1
# Jeder Listeneintrag enthält die Grafikobjekte einer Eigenmode.
plots = []
# Erstelle die Plots für jede Eigenmode in einer eigenen Axes.
for mode in range(n_moden):
# Erzeuge ein neues Axes-Objekt.
ax = fig.add_subplot(n_zeilen, n_spalten, mode + 1)
ax.set_title(
f'$f_{{{mode + 1}}}$={freq[mode] / 1e12:.1f} THz')
ax.set_xlim([-1.5, 1.5])
ax.set_ylim([-2, 2])
ax.set_aspect('equal')
ax.axis('off')
# Erzeuge ein Dictionary, für die Plot-Objekte dieser Mode
# und hänge dieses an die Liste plots an.
plot_objekte = {}
plots.append(plot_objekte)
# Plotte die Knotenpunkte in Blau.
plot_objekte['knoten'], = ax.plot(punkte[idx_knoten, 0],
punkte[idx_knoten, 1],
'bo', zorder=5)
# Plotte die Stützpunkte in Rot.
ax.plot(punkte[idx_stuetz, 0], punkte[idx_stuetz, 1],
'ro', zorder=5)
# Plotte die Stäbe.
plot_objekte['staebe'] = []
for stab in staebe:
s, = ax.plot(punkte[stab, 0], punkte[stab, 1],
color='black', zorder=4)
plot_objekte['staebe'].append(s)
# Plotte die Ausgangslage der Knotenpunkte hellblau.
ax.plot(punkte[idx_knoten, 0], punkte[idx_knoten, 1],
'o', color='lightblue', zorder=2)
# Plotte die Ausgangslage der Stäbe Hellgrau.
for stab in staebe:
ax.plot(punkte[stab, 0], punkte[stab, 1],
color='lightgray', zorder=1)
# Zeitachse, die 60 Punkte im Bereich von 0 .. 2 pi enthält.
t = np.radians(np.arange(0, 360, 6))
def update(n):
# Aktualisiere die Darstellung für jede Mode.
for mode in range(n_moden):
# Stelle den zu dieser Mode gehörenden Eigenvektor
# als ein n_knoten x dim - Array dar.
ev = eigenvektoren[:, mode].reshape(n_knoten, dim)
# Berechne die aktuellen Positionen p aller Punkte.
p = punkte.copy()
p[idx_knoten] += amplitude * ev * np.sin(t[n])
# Aktualisiere die Positionen der Knotenpunkte.
plots[mode]['knoten'].set_data(p[idx_knoten].T)
# Aktualisiere die Koordinaten der Stäbe.
for linie, stab in zip(plots[mode]['staebe'], staebe):
linie.set_data(p[stab, 0], p[stab, 1])
# Gib eine Liste aller geänderten Objekte zurück.
geaendert = []
for p in plots:
geaendert.append(p['knoten'])
geaendert += p['staebe']
return geaendert
# Erzeuge das Animationsobjekt und starte die Animation.
ani = mpl.animation.FuncAnimation(fig, update, interval=30,
frames=t.size, blit=True)
plt.show()