Aufgaben
Lösung zu Aufgabe 5.4
Das deformierte Stabwerk lässt sich wie folgt darstellen:
Dieser Skizze entnimmt man nun: \[ \begin{align} h &= \sqrt{l_1^2 - \Delta x^2} \\ d_1 &= \sqrt{\left(l_2 + \Delta x\right)^2 + h^2} \\ d_2 &= \sqrt{\left(l_2 - \Delta x\right)^2 + h^2} \end{align} \] Setzt man die Höhe $h$ in die Gleichungen für $d_1$ und $d_2$ ein, so ergibt sich: \[ \begin{align} d_1 &= \sqrt{l_1^2 + l_2^2 + 2 l_2 \Delta x} \\ d_2 &= \sqrt{l_1^2 + l_2^2 - 2 l_2 \Delta x} \end{align} \] Mit der urpsünglichen Länge der beiden Diagonalen \[ d_0 = \sqrt{l_1^2 + l_2^2} \] ergibt sich für die Kraft der gedehnten Diagonalen: \[ F_1 = S \frac{d_1 - d_0}{d_0} = S \left( \frac{d_1}{d_0} -1 \right) = S \left( \sqrt{ 1 + \frac{2 l_2 \Delta x}{l_1^2 + l_2^2}} -1 \right) \] Analog ergibt sich für die Kraft in der gestauchten Diagonalen: \[ F_2 = S \frac{d_2 - d_0}{d_0} = S \left( \frac{d_2}{d_0} -1 \right) = S \left( \sqrt{ 1 - \frac{2 l_2 \Delta x}{l_1^2 + l_2^2}} -1 \right) \] Mit den Zahlenwerten $l_1 = 2,1\,\textrm{m}$, $l_2 = 1,2\,\textrm{m}$, $\Delta x = 0,138\,\textrm{m}$ und $S=7,1\cdot10^3\,\textrm{N}$ ergibt sich: \[ \begin{align} F_1 &= +198\,\textrm{N} \\ F_2 &= -204\,\textrm{N} \end{align} \] Dieses Ergebnis stimmt mit der Ausgabe des Programms überein.
Bei dieser Aufgabe handelt es sich um eine typische Verifikationsaufgabe: Ausgehend von der in der Simulation beobachteten Deformation wurde mit einer relativ übersichtlichen Handrechnung überprüft, ob sich die in der Simulation berechneten Kräfte mit den simulierten Deformationen erklären lassen.