Aufgaben
Lösung zu Aufgabe 10.7
Die Grafik unten zeigt das Simulationsergebnis im direkten Vergleich mit der in der Aufgabenstellung angegebenen Fernfeldnäherung. Die Simulationsdaten wurden in einem Abstand ausgewertet, der 10-mal so groß ist wie der Abstand der beiden Quellen voneinander. Man erkennt, dass die beiden Kurven nahezu perfekt übereinander liegen.
Eine etwas anschaulichere Darstellung der gleichen Simulation erhält man, wenn man die Daten in einer Polardarstellung ausgibt.
Wellen/Loesungen/interferenz_fernfeld.py
"""Interferenz zweier kreisförmiger Wellen: Vergleich mit der
Fernfeldformel. """
import numpy as np
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.colors
# Wellenlänge der ausgestrahlen Wellen [m].
lam = 1.0
# Abstand der beiden Quellen voneinander [m].
d = 6.0 * lam
# Abstand, in dem die Simulation ausgewertet wird [m].
R = 10 * d
# Amplitude beider Quellen [a.u.].
A = 1.0
# Lege die Amplitude [a.u.] jeder Quelle in einem Array ab.
amplitude = np.array([A, A])
# Lege die Phase jeder Quelle in einem Array ab [rad].
phase = np.radians(np.array([0, 0]))
# Lege die Position jeder Quelle in einem N x 2 - Array ab [m].
position = np.array([[-d / 2, 0], [d / 2, 0]])
# Berechne die Wellenzahl.
k = 2 * np.pi / lam
# Wir wollen die Wellenfunktionen nur auf einem Kreis mit Radius
# R auswerten.
alpha = np.radians(np.linspace(0, 360, 1000))
x = R * np.sin(alpha)
y = R * np.cos(alpha)
# Wir legen nun ein Array komplexer Zahlen der passenden Größe
# an, das mit Nullen gefüllt ist.
u = np.zeros(x.shape, dtype=complex)
# Addiere für jede Quelle die entsprechende komplexe Amplitude.
for A, (x0, y0), phi0 in zip(amplitude, position, phase):
r = np.sqrt((x - x0) ** 2 + (y - y0) ** 2)
u += A * np.exp(1j * (k * r + phi0)) / np.sqrt(r)
# Berechne die Intensität.
I_sim = np.abs(u)**2
# Fernfeldnäherung gemäß der angegebenen Gleichung.
I0 = 1.0 / R
I_theo = 4 * I0 * np.cos(np.pi * d * np.sin(alpha) / lam) ** 2
# Erzeuge eine Figure und eine Axes und plotte die Daten.
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)
ax.grid()
ax.set_xlabel('$\\alpha$ [°]')
ax.set_ylabel('$I / I_0$')
ax.plot(np.degrees(alpha), I_sim, label='Simulation')
ax.plot(np.degrees(alpha), I_theo, label='Fernfeldnäherung')
ax.legend()
# Zeige das Bild an.
plt.show()
Wellen/Loesungen/interferenz_fernfeld_polar.py
"""Interferenz zweier kreisförmiger Wellen: Vergleich mit der
Fernfeldformel und Darstellung als Polarplot. """
import numpy as np
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.colors
# Wellenlänge der ausgestrahlen Wellen [m].
lam = 1.0
# Abstand der beiden Quellen voneinander [m].
d = 6.0 * lam
# Abstand, in dem die Simulation ausgewertet wird [m].
R = 10 * d
# Amplitude beider Quellen [a.u.].
A = 1.0
# Lege die Amplitude [a.u.] jeder Quellen in einem Array ab.
amplitude = np.array([A, A])
# Lege die Phase jeder Quelle in einem Array ab [rad].
phase = np.radians(np.array([0, 0]))
# Lege die Position jeder Quelle in einem N x 2 - Array ab [m].
position = np.array([[-d / 2, 0], [d / 2, 0]])
# Berechne die Wellenzahl.
k = 2 * np.pi / lam
# Wir wollen die Wellenfunktionen nur auf einem Kreis mit Radius
# R auswerten.
alpha = np.radians(np.linspace(0, 360, 1000))
x = R * np.sin(alpha)
y = R * np.cos(alpha)
# Wir legen nun ein Array komplexer Zahlen der passenden Größe
# an, das mit Nullen gefüllt ist.
u = np.zeros(x.shape, dtype=complex)
# Addiere für jede Quelle die entsprechende komplexe Amplitude.
for A, (x0, y0), phi0 in zip(amplitude, position, phase):
r = np.sqrt((x - x0) ** 2 + (y - y0) ** 2)
u += A * np.exp(1j * (k * r + phi0)) / np.sqrt(r)
# Berechne die Intensität.
I_sim = np.abs(u)**2
# Fernfeldnäherung gemäß der angegebenen Gleichung.
I0 = 1.0 / R
I_theo = 4 * I0 * np.cos(np.pi * d * np.sin(alpha) / lam) ** 2
# Erzeuge eine Figure.
fig = plt.figure()
# Erzeuge eine Axes mit Polarkoordinaten.
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1, projection='polar')
ax.grid(True)
# Wir wollen die 0°-Achse nach
# oben zeigen lassen, damit es mit der grafischen Darstellung
# im Buch übereinstimmt.
ax.set_theta_offset(np.pi / 2)
# Die Beschriftung für die r-Achse soll im 80°-Winkel liegen.
ax.set_rlabel_position(80)
# Plotte die beiden Kurven und zeige die Legende an.
ax.plot(alpha, I_sim, label='Simulation')
ax.plot(alpha, I_theo, label='Fernfeldnäherung')
ax.legend(loc='upper right', bbox_to_anchor=(1.3, 1.05))
# Zeige das Bild an.
fig.set_tight_layout(True)
plt.show()