Oliver Natt: Physik mit Python.

Lösung zu Aufgabe 10.14

Die gegebene Dispersionsrelation lässt sich ohne größere Probleme in die Simulation einbauen. Die Parameter und die Wellenform zum Zeitpunkt $t=0$ wurden so gewählt, dass sie in etwa der Situation der Masse-Feder-Kette aus Aufgabe 10.1 entsprechen. Wenn man die Entwicklung der Wellenform aus Aufgabe 10.1 und der hier vorliegenden Simulation vergleicht, so erkennt man eine unverkennbare Ähnlichkeit.

Zur fertigen Animation.

Zum Vergleich: Animation nach Aufgabe 10.1.

Wellen/Loesungen/dispersion_phonon.py

"""Dispersion eines gaußförmigen Signals. Hier wurde die
gegebene Dispersionsrelation für Phononen benutzt. Die anderen
Parameter wurden so gewählt, dass sie verlgeichbar zur
Situation im Programm kette_longitudinal1.py sind. """

import numpy as np
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation

# Die Parameter für die Dispersionsrelation werden entsprechend
# der Parameter für die Masse-Feder-Kette gewählt
D = 100        # Federkonstante [N/m].
m = 0.05       # Masse der einzelnen Teilchen [kg].
L = 0.15       # Abstand der Massen voneinander [m].

# Simulationsdauer [s].
T = 3.0

# Berechneter Bereich x = 0 ... x_max. Davon wird nur der
# Bereich x = 0 ... x_max/2 in der Grafik dargestellt. Wir
# wählen hier einen Bereich, der ähnlich groß ist, wie die
# Länge der Kette im Programm masse_feder_kette.py
x_max = 30.0

# Zeitschrittweite [s] und Ortsauflösung [m].
dt = 0.01
dx = 0.001

# Mittlere Wellenzahl des Wellenpakets [1/m].
k0 = 0.0

# Breite des Wellenpakets [m] wird so gewählt, dass sie in etwa
# dem Anregungsimpuls im Programm kette_longitudinal1.py
# entspricht.
B = 0.335

# Mittelpunkt des Wellenpakets zum Zeitpunkt t=0 [m].
x0 = 3 * B

# Phasengeschwindigkeit bei k = k0 [m/s].
c0 = 10.0

# Differenz Gruppengeschwindigkeit - Phasengeschwindigkeit [m/s].
alpha = -5.0

# Erzeuge je ein Array von x-Postionen und Zeitpunkten.
x = np.arange(0, x_max, dx)
t = np.arange(0, T, dt)

# Lege die Wellenfunktion zum Zeitpunkt t=0 fest.
u0 = np.exp(-((x - x0) / B) ** 2) * np.exp(1j * k0 * x)

# Führe die Fourier-Transformation durch.
u_ft = np.fft.fft(u0)

# Berechne die zugehörigen Wellenzahlen.
k = 2 * np.pi * np.fft.fftfreq(x.size, d=dx)

# Implementiere die Dispersionsrelation. Wir müssen auch hier
# wieder dafür sorgen, dass negative Wellenzahlen eine
# negative Kreisfrequenz bekommen.
omega = 2 * np.sqrt(D / m) * np.abs(np.sin(k * L / 2)) * np.sign(k)

# Erzeuge eine Figure und eine Axes. Wir stellen dabei nur
# die erste Hälte der berechneten x-Werte dar.
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)
ax.set_xlabel('x [m]')
ax.set_ylabel('Auslenkung [a.u.]')
ax.set_ylim(-0.5, 1.2)
ax.set_xlim(0, x_max / 2)
ax.grid()

# Erzeuge einen Linienplot für die Welle.
welle0, = ax.plot(x, np.real(u0), color='lightblue')
welle, = ax.plot(x, np.real(u0), color='blue')

# Erzeuge ein Textfeld für die Ausgabe des Zeitpunktes.
text = ax.text(0.1, 0.9, '', transform=ax.transAxes)


def update(n):
    # Berechne die Wellenfunktion zum Zeitpunkt t[i].
    u = np.fft.ifft(u_ft * np.exp(-1j * omega * t[n]))
    welle.set_ydata(np.real(u))

    # Aktualisiere das Textfeld.
    text.set_text(f't = {t[n]:3.1f} s')

    return welle, text


# Erstelle die Animation und zeige die Grafik an.
ani = mpl.animation.FuncAnimation(fig, update, frames=t.size,
                                  interval=30, blit=True)
plt.show()

Aufgaben

Lösung zu Aufgabe 10.14